Question. Use Bessel’s Interpolation formula find y25? given y20=24, y24=32, y28=35 and y32=40

Question. Use Bessel’s Interpolation formula find y25?  

given y20=24, y24=32, y28=35 and y32=40 

Sol:

  u       x       y         ∆ f(x)        ∆²f(x)        ∆³f( x)

-1      20     24

                                  8

 0      24     32                          -5

                                  3                                 7

 1     28      35                           2

                                  5

2      32      40

     x = a + uh

25  = 24 + u(4)

   u = 25 – 24

             4

 [u = 0.25]

f(u) = { 32 + 35 }  + (0.25 – ½ ) 3

                 2                                2

      

+ 0.25(0.25 – 1) { -5 + 2 }

       2 × 1                 2

+  0.25(0.25 – 1)(0.25 – ½ ) (7)

                3× 2× 1

= 33.5 – 0.75 + 0.25(-0.75) (-3)

                              2           2

     

+ 0.25(-0.75) (-0.25)(7)

                 6

= 33.5 – 0.75 + 0.140625 + 0.05468

= 32.9453

Bessel's Interpolation Formula

Formula:

f(u) = { f(0) + f(1) }  + ( u – 1 ) ∆f(0)

                  2                          2

    +   u(u – 1) { ∆² f(-1) + ∆² f(0) }

                2i                         2

+  u(u – 1) (u – ½) ∆³ f(-1)

             3i

+ u(u + 1)(u – 1)(u – 2) { ∆⁴f(-2) + ∆⁴f(-1) }

                 4i                               2

 +. . . . . . .  .   . .. .. .. . . . .. . . . . .

Laplace – Everett’s Formula

Formula:

F(u) = {  u  f( 1) + u(u – 1)(u + 1) ∆² f(0)

             1i                   3i

    + u(u – 1)(u + 1)(u – 2)(u + 2) ∆⁴f(-1)}

                             5i

   +{ w  f(0) + w(w – 1)(w + 1) ∆²f(-1)

       1i                     3i

   + w(w – 1)(w + 1)(w – 2)(w + 2) ∆⁴f(-2)}

                           5i

+………………………..

Using gauss backward difference formula estimate the no. of person. Wages(Ro.) belwo40 40-60 60-80 80-100 100-120 No. of person 250 120 100 70 50

Using gauss backward difference formula estimate the no. of person.

Wages(Ro.)    belwo40  40-60 60-80  80-100   100-120

No. of person  250         120    100      70             50

Sol:

u       x        f(x)        ∆f(x)       ∆²f(x)       ∆³f(x)    ∆⁴f(x)

-2    40      250

                                -130

-1   60       120                         110

                                  -20                          -120

0     80      100                          -10                          140

                                 -30                               20

1   100        70                           10

                                 -20

2   120        50

x = a + uh

70  = 80 + u (20)

u = 70 – 80

           20

[ u = -0.5]

f(u) = 100 + (-5)(-30) + (-0.5)(-0.5 – 1)   (-10)

                                                  2

         + (-0.5)(-0.5 – 1)(-0.5 + 1) (20)

                         6

      + (-0.5)(-0.5 – 1)(-0.5 + 1)(-0.5 – 2)  (140)

                         24

= 100 + 15 + (-3.75) + 1.25 + (-5.46875)

=  107.03 

Gauss Backward Difference formula

Formula:

F(u) = f(0) + u  ∆f(0) + u(u – 1) ∆² f(-1)

                  1i                   2i

           + u(u – 1)(u + 1) ∆³ f(-1)

                       3i

          + u(u – 1)(u + 1)(u – 2) ∆⁴ f(-2)

                         4i

Using gauss backward difference formula estimate the no. of person Wagrs(Ro.) below40 40-60 60-80 80-100 100-120 No. of peoples 250 120 100 70 50 (in thousands)

Sol:

  u     x     f(x)    ∆f(x)  ∆²f(x)   ∆³f(x)    ∆⁴f(x)

-2    40     250

                           -130

-1    60     120                110

                            -20                -120

0      80     100                -10                    140

                            -30                   20

1      100    70                  10

                            -20

2     120     50

      x = a +uh

    70 = 80 + u(20)

      u = 70 - 80 

                20

    [u = - 0.5]

f(u)= 100 + (-0.5)(-30) + (-0.5)(-0.5 - 1) (-10)

                                                2

          + (-0.5)(-0.5 - 1)(-0.5 + 1) (20)

                               6

         + (-0.5)(-0.5 - 1)(-0.5 + 1)(0.5 - 2) (140)

                                   24

     = 100 +  15 + (-3.75) + 1.25 + (-5.46875)

     =  107.03 

Gauss Backward Difference Formula

Formula:

f(u) = f(0) + u  ∆f(0) + u(u – 1) ∆²f(-1)

                  1i                 2i

       + u(u – 1)( u + 1) ∆³f(-1)

                     3i

       + u(u – 1)(u + 1)(u – 2) ∆⁴f(-2)

                       4i

Apply gauss’s forward formula to find the value of u9 if u0=14, u4=24, u8=32, u12= 35, u16= 40

Sol:-       x = a + uh

              9 = 8 + u(4)

             u = 9 – 8   =   1  = 0.25

                    4           4

             [u = 0.25]

u    x    f(x)   ∆f(x)    ∆²f(x)     ∆³f(x)    ∆⁴f(x)

-2  0    14

                     10

-1  4    24                   -2

                      8                          -3

0   8    32                    -5                          10

                      3                           7

1  12   35                     2

                      5

2  16   40

F(u) = 3.2 + 0.25 + 0.25(0.25 – 1)                           

                      1              2

+ 0.25(0.25 – 1)(0.25 + 1) (7)

              3 × 2

+ 0.25(0.25 – 1)(0.25 + 1) (0.25 – 2)  (10)

                4 × 3 × 2

f(u) = 32 + 0.75 + 0.46875 + (-0.2734375)  + 0.17089

       = 33.1162025

Gauss forward Difference formula

Formula:

F(u) = f(0) + u  + u(u – 1) ∆²f(-1)

                  1i          2i

        + u(u – 1)(u + 1) ∆³f(-1)

                   3i

        + u(u – 1)(u + 1)(u – 2) ∆⁴ f(-2)

                          4i

       + u(u – 1)(u + 1)(u – 2)(u + 2) ∆⁵ f(-2)

                           5i

     
 + ……….. 

The population of town is as follows: x 1921 1931 1941 1951 1961 1971 Population(y) 20 24 29 36 46 51 Estimate the increase in population during the period 1955-1961

Sol:-    x = (a + nh) + uh

    1955 = 1971 + u(10)

       u = 1955 – 1971

                     10

         [u = -1.6]

x       f(x)    Ñ f(x)    Ñ² f(x)   ѳf(x)   Ñ⁴ f(x)    Ñ⁵f(x)

1921  20

                      4

1931  24                      1

                     5                            1

1941   29                     2                          0

                     7                            1                     -9

1951   36                     3                         -9

                   10                           -8

1961  46                    -5      

                     5

1971   51

y(a+nh+uh) = 51 + (-1.6)(5) + (-1.6)(-1.6 + 1) (-5)

                                                       2

                    

          +(-1.6)(-1.6 + 1)(-1.6 +2) (-8)

                           3×2

          + (-1.6)(-1.6+1)(-1.6+2)(-1.6+3) ( -9)

                         4×3×2

          + (-1.6)(-1.6+1)(-1.6+2)(-1.6+3)(-1.6+4)  (-9)

                              4×3×2×1

   = 51 - 8 + (-2.4) + (-0.512) + (-0.5375) + (-0.096768)

   = 39.453732

The population of a town as given :- Estimate the population for the year 1925. year(x) : 1891 1901 1911 1921 1931 population: 46 66 81 93 101

Sol:-

          x = (a + nh)+uh

     1925= 1931 + u(10)

          u = 1925 - 1931 

                        10

          u = - 6 

                 10

         [u = - 0.6]

x          f(x)        Ñf(x)       Ñ²f(x)        Ñ³f(x)         Ñ⁴f(x)

1891     46

                           20

1901     66                            -5

                           15                                  2

1911     81                             -3                                  |-3|

                           12                                  |-1|

1921     93                            |-4|

                           |8|

1931    |101|

f(a+nh+uh) = 101 + (-0.6)(8) 

                   + (-0.6)(- 0.6+1) (-4)

                                   2

                   + (-0.6)(- 0.6+1)(- 0.6+2)(-1) 

                                            6

              + (-0.6)(- 0.6+1)(- 0.6+2)( -0.6+3)(-3)

                                           24

ð              101 – 4.8 + (-0.3)(0.4)(-4)

+  (-0.6)(0.4)(1.4)(-1)

                  6

+ (-0.6)(0.4)(1.4)(2.4)(-3)

                      24

ð    101 – 4.8 + 0.48 + 0.056 + 0.1008

 =  98.8368

Newton's Backward Difference formula

Formula:

f(a+nh+u)= f(a + n) +u   Ñf(a + nh)

                                   1!

+ u(u +1)  Ñ²f(a + nh)

        2!

+ u(u+1)(u+2)  Ñ³f(a + nh)

          3!

+u(u+1)(u+2)(u+3)  Ñ⁴f(a + nh)

            4!

[x = (a + nh) + uh]

one more question for understanding the Newton Forward D.Method

Ques:-   From the following table of year premium for policies maturing at different ages.

estimate the premium for policies maturing at the age of 46.

age:          45             50          55          60          65

premium: 114.84    96.16       83.32   74.48     68.48

Sol:-        x = a + uh

                    46 =  45 + u(5)

                     u = 46 -  45

                              5

                     |u =0.2|

x          f(x)           ∆f(x)      ∆²f(x)     ∆³f(x)    ∆⁴f(x)

45      114.84

                           -18.68

50      96.16                         5.84

                           -12.84                     -1.84

55      83.32                          4                            0.68

                            -8.84                       -1.16

60      74.48                        2.84

                               -6

65      68.48

f(a+uh)=114.84+0.2(-18.68) +0.2(0.2-1) (5.84)

                                                2×1

             + 0.2(0.2-1)(0.2-2)  (-1.84)

                      3×2×1

             + 0.2(0.2-1)(0.2-2)(0.2-3)   (0.68)

                     4×3×2×1

             = 114.84 - 3.736 - 0.4672 - 0.08832 -0.022848

             = 110.888032

Newton Forward Difference Formula

Formula

F(a + uh) =f(a) + u  ∆f(a) + u(u – 1) ∆²f(a)

                         1!                2!

+ u(u – 1)(u – 2) ∆³f(a) +u(u – 1)(u – 2)(u – 3)× ∆⁴ f(a)

        3!                                         4!

Ques:-

          The population of a term in a decimal census was as given below:-

estimate the population for the year 1895

year:                1891    1901    1911    1921    1931 

population:        46        66        81        93       101

Sol:-

                    x = a + uh

              1895 = 1891 + u(10)

                    u = 1895 - 1891

                                10

                   |u = 0.4|

x                 f(x)     ∆f(x)       ∆²f(x)       ∆³f(x)   ∆⁴f(x)

1891         |46|

                            |20|

1901          66                     |-5|

                             15                            |2|       

1911          81                     -3                         |-3|

                             12                            -1               

1921          93                     -4            

                              8

1931          101    

f(a + uh)= 46 + 0.4(20) + 0.4(0.4 - 1) (-5)

                                              2

             + 0.4(0.4 - 1)(0.4 - 2) (2)

                        3×2×1

             + 0.4(0.4 - 1)(0.4 - 2)(0.4 - 3) (-3)

                              4×3×2×1

        =         46 + 8 + 0.4(-0.6)(-5) 

                                         2

                 

               + 0.4(-0.6)(-1.6)(-2.6)  × (-3)

                                 2                   1

        =        46 + 8 + 0.6 + 0.1248 

        =         54.7248